Question

已知點(diǎn)A（4，0），B（1，0），若動(dòng)點(diǎn)T滿足

AB

•

AT

=6|

BT

|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡Γ；
（2）在x軸正半軸上是否存在一點(diǎn)P，過該點(diǎn)的直線l（不與x軸重合）與曲線Γ交于兩點(diǎn)M，N，使得

1

|PM|2

+

1

|PN|2

為定值，若有求出P點(diǎn)坐標(biāo)和定值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，得到向量

AT

，

AB

，

BT

的坐標(biāo)，代入

AB

•

AT

=6|

BT

|整理得到動(dòng)點(diǎn)T的軌跡Γ；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)P（m，0）（m＞0），使得

1

|PM|2

+

1

|PN|2

為定值，設(shè)出M，N的坐標(biāo)及直線l的方程x=ty+m，
把

1

|PM|2

+

1

|PN|2

用M，N的坐標(biāo)及t表示，再把直線和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N的縱坐標(biāo)的關(guān)系，代入

1

|PM|2

+

1

|PN|2

整理得到關(guān)于m的表達(dá)式，然后由分子的系數(shù)關(guān)系求得m的值，則答案可求．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)T（x，y），
∵A（4，0），B（1，0），
∴

AT

=（x-4，y），

AB

=（-3，0），

BT

=（x-1，y），
代入

AB

•

AT

=6|

BT

|，整理得：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)P（m，0）（m＞0），使得

1

|PM|2

+

1

|PN|2

為定值．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l：x=ty+m，
則|PM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12，|PN|2=(t2+1)y22．
∴

1

|PM|2

+

1

|PN|2

=

1

(t2+1)

(

1

y12

+

1

y22

)=

1

(t2+1)

y12+y22

y12y22

=

1

(t2+1)

(y1+y2)2-2y1y2

y12y22

  （1）
聯(lián)立x=ty+m與

x2

4

+

y2

3

=1，整理得：（3t²+4）y²+6tmy+3m²-12=0．
∴y1+y2=

-6tm

3t2+4

，y1y2=

3m2-12

3t2+4

，代入（1）式得：

1 |PM|2 + 1 |PN|2 = 1 (t2+1) • ( -6tm 3t2+4 )2-2• 3m2-12 3t2+4 ( 3m2-12 3t2+4 )2 = t2(18m2+72)+96-24m2 t2(3m2-12)2+(3m2-12)2

．
要使得上式為定值，須18m²+72=96-24m²，解得m=

2 7

7

，
此時(shí)

1

|PM|2

+

1

|PN|2

取到定值

7

9

．
∴當(dāng)P為（

2 7

7

，0）時(shí)，

1

|PM|2

+

1

|PN|2

取到定值

7

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查了向量在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了設(shè)而不求的解題思想方法，考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力，是壓軸題．