Question

已知函數(shù)f（x）=log_a （a＞0，a≠1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（3）當(dāng)a＞1，x∈（t，a）時(shí)，f（x）的值域是（1，+∞）求a與t的值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log_a（a＞0，a≠1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即f（x）為奇函數(shù)，則
f（﹣x）+f（x）=0，
loga+loga=loga=0，
即=1，
解可得，m=1或m=﹣1，
當(dāng)m=1時(shí)，=﹣1＜0，不合題意，舍去；
當(dāng)m=﹣1時(shí)，=，符合題意，
故m=﹣1；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a＞0，即f（x₂）﹣f（x₁）＞0，
此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，log_a＜0，即f（x₂）﹣f（x₁）＜0，
此時(shí)f（x）為減函數(shù)，證明如下
由（1）得m=﹣1，則f（x）=log_a，任取1＜x₁＜x₂，則
f（x₂）﹣f（x₁）=log_a﹣log_a=log_a，
又由1＜x₁＜x₂，則0＜＜1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga＞0，即f（x₂）﹣f（x₁）＞0，
此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，loga＜0，即f（x₂）﹣f（x₁）＜0，
此時(shí)f（x）為減函數(shù)，
（3）由（1）知，f（x）=loga，＞0，解可得，x＞1或x＜﹣1，則
f（x）的定義域?yàn)椋ī仭�，�?）∪（1，+∞），
故（t，a）必然含于（﹣∞，﹣1）或（1，+∞），
由a＞1，可知（t，a）（- ∞，﹣1）不成立，則必有（t，a）（1，+∞），
此時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），
又由函數(shù)f（x）為減函數(shù)，必有f（a）=1且=0；
解可得，t=﹣1，a=1+；
故t=﹣1，a=1+．