Question

【題目】如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，曲線C由以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的半圓和中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的半橢圓構(gòu)成，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）已知射線與曲線C交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為曲線C上的動點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）根據(jù)題意，分別求出曲線上半部分和下半部分直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，即可得到曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）由題可知要使面積最大，則點(diǎn)在半圓上，且，利用極坐標(biāo)方程求出，由三角形面積公式即可得到答案。

（1）由題設(shè)可得，

曲線上半部分的直角坐標(biāo)方程為，

所以曲線上半部分的極坐標(biāo)方程為.

又因為曲線下半部分的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

所以曲線下半部分極坐標(biāo)方程為，

故曲線的極坐標(biāo)方程為.

（2）由題設(shè)，將代入曲線的極坐標(biāo)方程可得：.

又點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，所以．

由面積公式得：

當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故 面積的最大值為 .