Question

某企業(yè)招聘工作人員，設(shè)置A、B、C三組測(cè)試項(xiàng)目供參考人員選擇，甲、乙、丙、丁、戊五人參加招聘，其中甲、乙兩人各自獨(dú)立參加A組測(cè)試，丙、丁兩人各自獨(dú)立參加B組測(cè)試．已知甲、乙兩人各自通過測(cè)試的概率均為

1

3

，丙、丁兩人各自通過測(cè)試的概率均為

1

2

．戊參加C組測(cè)試，C組共有6道試題，戊會(huì)其中4題．戊只能且必須選擇4題作答，答對(duì)3題則競(jìng)聘成功．
（Ⅰ）求戊競(jìng)聘成功的概率；
（Ⅱ）求參加A組測(cè)試通過的人數(shù)多于參加B組測(cè)試通過的人數(shù)的概率；
（Ⅲ）記A、B組測(cè)試通過的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I） 設(shè)戊競(jìng)聘成功為A事件，則事件的總數(shù)為

C

4 6

，而事件A競(jìng)聘成功分為兩種情況：一種是戊會(huì)其中4題都選上

C

4 4

，另一種是選上會(huì)其中4題的其中3道題和另一道題有

C

3 4

•

C

1 2

種方法，再利用概率計(jì)算公式即可得出．
（Ⅱ）設(shè)“參加A組測(cè)試通過的人數(shù)多于參加B組測(cè)試通過的人數(shù)”為B事件，包括兩種情況：一種是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人都沒有通過，其概率是

1

3

×

1

3

×[1-(1-

1

2

)(1-

1

2

)]；另一種情況是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人種只有一人通過，其概率是

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)×(1-

1

2

)2，再利用互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．ξ=0表示甲乙丙丁四人都沒有通過；ξ=1表示四人中只有一人通過；ξ=3表示由3人通過；ξ=4表示四人都通過，利用分類討論和獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及其互斥事件的概率計(jì)算公式及其對(duì)立事件的概率計(jì)算公式和概率的性質(zhì)即可得出，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）．

解答：解：（I） 設(shè)“戊競(jìng)聘成功”為A事件，而事件A競(jìng)聘成功分為兩種情況：一種是戊會(huì)其中4題都選上，另一種是選上會(huì)其中4題的其中3道題和另一道題，基本事件的總數(shù)為

C

4 6

．
∴P（A）=

C 4 4 + C 3 4 C 1 2

C 4 6

=

3

5

（Ⅱ）設(shè)“參加A組測(cè)試通過的人數(shù)多于參加B組測(cè)試通過的人數(shù)”為B事件，包括兩種情況：一種是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人都沒有通過，另一種情況是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人種只有一人通過．
∴P（B）=

1

3

×

2

3

×2×(

1

2

)2+

1

3

×

1

3

×

3

4

=

7

36

．
（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．可得P（ξ=0）=(1-

1

3

)2(1-

1

2

)2=

4

36

，P（ξ=1）=

C

1 2

(1-

1

3

)×

1

3

×(1-

1

2

)2+

C

1 2

×

1

2

×(1-

1

2

)×(1-

1

3

)2=

12

36

，P（ξ=3）=

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)×(

1

2

)2+

C

1 2

×

1

2

×(1-

1

2

)×

1

3

×

1

3

=

6

36

，P（ξ=4）=

1

3

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

36

，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=

13

36

．
列表如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	4 36	12 36	13 36	6 36	1 36

∴Eξ=0×

4

36

+1×

12

36

+2×

13

36

+3×

6

36

+4×

1

36

=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了超幾何分布、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題．