Question

【題目】已知橢圓的離心率，直線與相交于，兩點，當(dāng)時，

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）在橢圓上是否存在點，使得當(dāng)時，的平分線總是平行于軸？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，或.

【解析】

（1）根據(jù)離心率得出，，將直線與橢圓方程聯(lián)立，得出交點坐標(biāo)，再由兩點間距離公式，即可得出橢圓方程；

（2）假設(shè)存在點，設(shè)，，由整理得出，由題意得出，結(jié)合韋達定理求解即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為

因為離心率，所以，

由解得.

不妨設(shè)，，則.

所以，從而，.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在點，設(shè)，.

由，消去得.

因為，所以，

且，.

由的平分線平行于軸，得

所以，即，

可得，

所以，

整理得.

當(dāng)變化時，上式恒成立，

所以，解得或.

故滿足條件的點的坐標(biāo)為或.