Question

設,函數(shù).

(1) 若，求曲線在處的切線方程；

(2) 若無零點,求實數(shù)的取值范圍；

(3) 若有兩個相異零點,求證: .

 

 

Answer 1

【答案】

解：方法一在區(qū)間上,.                          ……………………1分

（1）當時，，則切線方程為，即 …………3分

（2）①若,則,是區(qū)間上的增函數(shù),  

,,

,函數(shù)在區(qū)間有唯一零點.                             …………6分

②若,有唯一零點.                                           …………7分

③若,令得: .

在區(qū)間上, ,函數(shù)是增函數(shù);

在區(qū)間上, ,函數(shù)是減函數(shù);

故在區(qū)間上, 的極大值為.

由即,解得:.

故所求實數(shù)a的取值范圍是.                                             …………9分

方法二、函數(shù)無零點方程即在上無實數(shù)解         …………4分

令，則

由即得：                                              …………6分

在區(qū)間上, ,函數(shù)是增函數(shù);

在區(qū)間上, ,函數(shù)是減函數(shù);

故在區(qū)間上, 的極大值為.                                    …………7分

注意到時，；時；時，

故方程在上無實數(shù)解.

即所求實數(shù)a的取值范圍是.                                               …………9分

[注:解法二只說明了的值域是,但并沒有證明.]

 (3) 設

,

原不等式

令,則,于是.                           …………12分

設函數(shù),

求導得:

故函數(shù)是上的增函數(shù),

即不等式成立,故所證不等式成立.                   ……………………14分

 

【解析】略