Question

已知函數．
（1）若，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）當時，函數f（x）在區(qū)間[1，2]上是否有零點，若有，求出零點，若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當時，，
f′（x）=-2+=≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函數，
∴f（x）的最小值為f（1）=．
（2）∵（x＞0）．
即 （x＞0）．
∵，∵
∴當時，＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞，由f′（x）＜0，得2＜x＜；
當a＞時，，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，由f′（x）＜0，得＜x＜，2；
所以當時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，2]和，單調遞減區(qū)間是；
當時，f（x）的單調遞增區(qū)間是和[2，+∞），單調遞減區(qū)間是．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
當時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，
故．
由可知，，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，則f（x）_max＜0，
故在區(qū)間[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故當時，函數f（x）在區(qū)間[1，2]上沒有零點．
分析：（1）求出f′（x），利用導數符號判斷函數單調性，由單調性可求f（x）的最小值；
（2）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的單調區(qū)間；
（3）用導數求出函數f（x）在區(qū)間[1，2]上最大值，由最大值符號可作出判斷．
點評：本題考查函數的零點及應用導數研究函數的單調性問題，屬中檔題．