Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側的第一最大值點和最小值點分別為（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

2

3

，然后再將所得圖象向右平移

π

3

個單位長度，得到函數g（x）的圖象，寫出g（x）的解析式．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：先根據函數的最大和最小值求得A，進而根據最高點與最低點橫坐標之間的距離求得函數的最小正周期，繼而求得ω，把（0，1）點代入函數解析式求得φ．
（2）利用三角函數圖象平移的法則求得g（x）的圖象的解析式．

解答： 解：（1）∵y_max=2，y_min=-2，
∴A=2，
∵T=（x₀+3π）-x₀=3π，
∴

2π

ω

=6π，解得ω=

1

3

，
∵f（0）=2sinφ=1，
∴sinφ=

1

2

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=3sin（

1

3

x+

π

6

）．
（2）將y=2sin（

1

3

x+

π

6

）圖象上的所有點橫坐標縮短到原來的

2

3

，得y=2sin（

1

2

x+

π

6

）的圖象，
然后將所得圖象向右平移

π

3

個單位長度，得到函數y=2sin

x

2

的圖象，它對應的函數即為g（x）．

點評：本題主要考查了三角函數圖象與性質，三角函數圖象的平移變換．考查了學生對三角函數圖象的理解和應用．