Question

14．設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求證：函數(shù)f（x）恒有f（x+4）=f（x）成立；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；
（2）由[0，2]上的表達式先求[-2，0]上的表達式，再求[2，4]上的表達式；
（3）由周期性可化為f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504[f（0）+f（1）+f（2）+f（-1）]，再由奇偶性求解．

解答 （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；
（2）解：∵當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴x∈[-2，0]時，f（x）=2x+x²，
故當x∈[2，4]時，f（x）=f（x-4）
=2（x-4）+（x-4）²
=x²-6x+8；
（3）解：∵f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）
=504[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]
=504[f（0）+f（1）+f（2）+f（-1）]
=0．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的周期性與奇偶性的判斷與應用，同時考查了函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題．