Question

16．已知x≥1，求y=x+$\frac{1}{x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 可設(shè)任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，從而可以判斷f（x₁）＞f（x₂），這樣便得出該函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而x=1時(shí)取最小值，求出該最小值即可．

解答 解：設(shè)x₁＞x₂≥1，則：
${y}_{1}-{y}_{2}={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}+1}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[1-\frac{1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}]$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁-x₂＞0，x₁+1≥2，x₂+1＞2，$1-\frac{1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＞0$；
∴y₁＞y₂；
∴該函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴x=1時(shí)，y取最小值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性的方法和過(guò)程，作差比較法的運(yùn)用，作差之后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁，x₂，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值的方法．