Question

13．已知函數(shù)f（x）對(duì)于一切正實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）f（y）且x＞1時(shí)，f（x）＜0，f（2）=$\frac{1}{9}$．
（1）求證：f（x）＞0；
（2）求證：y=f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；
（3）若f（m）=9，試求m的值．

Answer 1

分析 （1）由x=$\sqrt{x}$•$\sqrt{x}$，即可證明f（x）＞0；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明y=f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；
（3）若f（m）=9，由f（2）=$\frac{1}{9}$得f（m）•f（2）=1，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．

解答 （1）證明：∵x＞0，
∴x=$\sqrt{x}$•$\sqrt{x}$，則由f（xy）=f（x）f（y），
得f（x）=f（$\sqrt{x}$）•f（$\sqrt{x}$）=f（$\sqrt{x}$）²＞0．
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）+f（x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁）
由此得到y(tǒng)=f（x）是在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)．
（3）解：令x=2，y=1，則f（2）=f（1）f（2），
即f（1）=1，
∵f（2）=$\frac{1}{9}$，f（m）=9，
∴f（m）•f（2）=9×$\frac{1}{9}$=1=f（1），
即f（2m）=f（1），
則2m=1，解得m=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，考查學(xué)生的運(yùn)算推理能力．