Question

14．函數(shù)f（x）=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+5（a，b為常數(shù)），若f（x）在（0，+∞）上有最小值-4，則f（x）在（-∞，0）上有（　�。�

• A． 最大值-1
• B． 最大值14
• C． 最大值9
• D． 最大值4

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）-4=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），從而可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關系，即可求得函數(shù)的最值．

解答 解：∵$f（x）=asinx+b{log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）+5（a，b$為常數(shù)），
∴f（x）-5=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
設F（x）=f（x）-5=asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
則F（-x）=asin（-x）+blog₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-（asinx+blog₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$））=-F（x）；
則函數(shù)F（x）=f（x）-5是奇函數(shù)，
∵f（x）在（0，+∞）上有最小值-4，
∴F（x）在（0，+∞）上有最小值-4-5=-9；
∴F（x）在（-∞，0）上有最大值9；
即f（x）在（-∞，0）上有最大值9+5=14；
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與函數(shù)的性質(zhì)的應用，根據(jù)條件構造函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關系是解決本題的關鍵．