Question

3．在四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（　�。�

• A． 11π
• B． 7π
• C． $\frac{10π}{3}$
• D． $\frac{40π}{3}$

Answer 1

分析 求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．

解答 解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×2×1×cos120°}$=$\sqrt{7}$，
∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=$\frac{\sqrt{7}}{sin120°}$，r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，
由于三角形OSA為等腰三角形，O是外接球的球心．
則有該三棱錐的外接球的半徑R=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{21}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{10}{3}}$，
∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR²=4π×（$\sqrt{\frac{10}{3}}$）²=$\frac{40π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關系，確定三棱錐的外接球的半徑是關鍵．