Question

如圖所示，O是線段AB的中點(diǎn)，|AB|＝2c，以點(diǎn)A為圓心，2a為半徑作一圓，其中。

（1）若圓A外的動(dòng)點(diǎn)P到B的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線；

（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線l與直線AB成60°角，當(dāng)c＝2，a＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為E，設(shè)過點(diǎn)B的直線m交曲線E于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線AB的上方，求點(diǎn)M到直線l的距離d的取值范圍。

Answer 1

軌跡方程為：。

（2）

解析:

（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（－c，0），B（c，0）

依題意：

∴點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支

∴軌跡方程為：。

（2）法一：設(shè)M（，），N（，）

依題意知曲線E的方程為

，l的方程為

設(shè)直線m的方程為

由方程組，消去y得

                    ①

∴

∵直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)

∴及，從而

由①得

解得且

當(dāng)x＝2時(shí)，直線m垂直于x軸，符合條件，∴

又設(shè)M到l的距離為d，則

∵

∴

設(shè)，

由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函數(shù)

∴在單調(diào)遞減

∴的最大值＝

又∵

而M的橫坐標(biāo)，∴

法二：為一條漸近線

①m位于時(shí)，m在無窮遠(yuǎn)，此時(shí)

②m位于時(shí)，，d較大

由

點(diǎn)M 

∴

故