Question

8．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$．
（1）把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程；
（2）已知P為曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）上一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=3$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=3$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程：y-x=6，即x-y+6=0．
（2）P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{11}{\sqrt{2}}$=$\frac{11\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)sin（θ+φ）=-1時(shí)，取等號(hào)．
∴P到直線l的距離的最大值為$\frac{11\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、三角函數(shù)的和差公式、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的參數(shù)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．