Question

已知函數

（Ⅰ）當時，求證：函數在上單調遞增；

（Ⅱ）若函數有三個零點，求的值；

（Ⅲ）若存在，使得，試求的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）…………………………………3分

由于，故當時，，所以，

故函數在上單調遞增 ……………………………………………………………5分

（Ⅱ）當時，因為，且在R上單調遞增，

   故有唯一解……………………………………………………………………7分

   所以的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

   又函數有三個零點，所以方程有三個根，

   而，所以，解得 ……………………………11分

（Ⅲ）因為存在，使得，

所以當時，…………12分

   由（Ⅱ）知，在上遞減，在上遞增，

   所以當時，，

   而，

   記，因為（當時取等號），

   所以在上單調遞增，而，

   所以當時，；當時，，

   也就是當時，；當時，………………………14分

   ①當時，由，

   ②當時，由，

綜上知，所求的取值范圍為…………………………………………16分