Question

在燈謎晚會(huì)上,猜謎者需猜兩條謎語(yǔ)(謎語(yǔ)1和謎語(yǔ)2),猜謎者對(duì)這兩條謎語(yǔ)可以按自己選擇的先后順序去猜,如果他決定先猜謎語(yǔ)i(i=1,2),則只有當(dāng)他猜中此謎后才被允許猜另一條謎語(yǔ),否則就不允許他猜另一條謎語(yǔ),若猜謎者猜中謎語(yǔ)i(i=1,2),則獎(jiǎng)x_i元,一中一得.設(shè)猜謎語(yǔ)i(i=1,2)這兩件事是互不影響的,試問(wèn):

(1)他應(yīng)先猜哪條謎語(yǔ)?

(2)若x₁=200,x₂=100,P₁=0.6,P₂=0.8(P₁、P₂分別為猜中謎語(yǔ)1、謎語(yǔ)2的概率),則應(yīng)先猜哪條?謎語(yǔ)?

Answer 1

解:(1)設(shè)猜中謎語(yǔ)i(i=1,2)的概率為P_i(i=1,2).

若先猜謎語(yǔ)1,則所得獎(jiǎng)金ξ₁的分布列為

ξ1	0	x1	x1+x2
P	1-P1	P1(1-P2)	P1P2

所獲獎(jiǎng)金的期望

Eξ₁=x₁P₁(1-P₂)+(x₁+x₂)P₁P₂=x₁P₁+x₂P₁P₂;

若先猜謎語(yǔ)2,則所得獎(jiǎng)金ξ₂的分布列為

ξ2	0	x2	x1+x2
P	1-P2	P2(1-P1)	P2P1

所獲獎(jiǎng)金的期望

Eξ₂=x₂P₂(1-P₁)+(x₁+x₂)P₂P₁=x₂P₂+x₁P₁P₂;

當(dāng)Eξ₁＞Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂＞x₂P₂+x₁P₁P₂時(shí),先猜謎語(yǔ)1;

當(dāng)Eξ₁＜Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂＜x₂P₂+x₁P₁P₂時(shí),先猜謎語(yǔ)2;

當(dāng)Eξ₁=Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂=x₂P₂+x₁P₁P₂時(shí),先猜謎語(yǔ)1和先猜謎語(yǔ)2一樣.

(2)由題設(shè)可得Eξ₁=168,Eξ₂=176,因?yàn)镋ξ₁＜Eξ₂,所以應(yīng)先猜謎語(yǔ)2.