Question

已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2, BC=1. 以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.

(Ⅰ)求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)

解析:

(Ⅰ)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.……1分

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.……2分

則……4分

.……5分

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是……6分

(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.……7分

設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

聯(lián)立方程: 

消去整理得,

有……9分

若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),則,所以,……10分

所以,,

即

所以,

即……11分   得……12分

所以直線的方程為,或.……13分

所以存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn). ……14分