Question

把正奇數(shù)數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：
    1
  3    5
7    9   11
…
…
設a_mn（m，n∈N^*）是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第m行、從左往右數(shù)第n個數(shù)．
（1）若a_mn=2011，求m，n的值；
（2）若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n，求證+++…+．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得：三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3+…+m=個數(shù)，于是第m行最后一個數(shù)應當是所給奇數(shù)列中的第項．故第m行最后一個數(shù)是=m²+m-1．  因此，使得a_mn=1011的m是不等式m²+m-1≥2011的最小正整數(shù)解．解出即可得到m．于是，第45行第一個數(shù)是44²+44-1+2=1981，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出m．
（2）由于第n行最后一個數(shù)是n²+n-1，且有n個數(shù)，所以若將n²+n-1看成第n行第一個數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，故=n³．利用放縮法和裂項求和可得=，（n≥2）即可證明．
解答：解：（1）∵三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3+…+m=個數(shù)，
∴第m行最后一個數(shù)應當是所給奇數(shù)列中的第項．
故第m行最后一個數(shù)是=m²+m-1．    
因此，使得a_mn=1011的m是不等式m²+m-1≥2011的最小正整數(shù)解．
化為m²+m-2012≥0，∴==44，
∴m=45．
于是，第45行第一個數(shù)是44²+44-1+2=1981，
∴n==16．
∴m=45，n=16．
（2）∵第n行最后一個數(shù)是n²+n-1，且有n個數(shù)，
若將n²+n-1看成第n行第一個數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，
故=n³．
∴=，（n≥2）
∴+++…+
=1．
點評：熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、一元二次不等式的解法、放縮法、裂項求和等是解題的關鍵．