Question

【題目】某環(huán)境保護(hù)部門對某處的環(huán)境狀況用“污染指數(shù)”來監(jiān)測，據(jù)測定，該處的“污染指數(shù)”與附近污染源的強(qiáng)度和距離之比成正比，比例系數(shù)為常數(shù)，現(xiàn)已知相距的兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為1和，它們連線段上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和，設(shè)；

（1）試將表示為的函數(shù)，指出其定義域；

（2）當(dāng)時，處的“污染指數(shù)”最小，試求化工廠的污染強(qiáng)度的值；

Answer 1

【答案】(1) ， ; (2)

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)受污染源污染程度為，點(diǎn)受污染源污染程度為，其中為比例系數(shù)，且，則點(diǎn)處受污染程度是二者之和，定義域為.
（2）因為 ，所以 ，令 ，得．

(1) 設(shè)點(diǎn)受污染源污染程度為，

點(diǎn)受污染源污染程度為.取值為比例系數(shù)且.
所以點(diǎn)點(diǎn)處受污染程度為，.

(2)由，所以，

當(dāng)時，處的“污染指數(shù)”最小，

即時，函數(shù)取得最小值.

由，則函數(shù)的最小值一定是對應(yīng)的極小值點(diǎn).

令，由，解得.

當(dāng)時，.

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足條件.

所以.