Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，的面積的最大值為1，、為橢圓上任意兩個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，直線交橢圓于另一點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由離心率及的面積的最大值為1，即可求得，，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，且，由題意得且直線的斜率必存在，設(shè)：，與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得，即可表示直線：，根據(jù)對(duì)稱性可知直線過的定點(diǎn)必在軸上，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（1）∵當(dāng)M為橢圓C的短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積的最大值為1

∴

∴

∵，

∴

∴橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）設(shè)，且，

∵

∴

由題意知的斜率必存在，設(shè)：，代入得，由得，.

∵

∴斜率必存在，：

由對(duì)稱性易知直線過的定點(diǎn)必在軸上，則當(dāng)時(shí)，得 ，即在的條件下，直線AE過定點(diǎn)（1，0）.