Question

已知，其中是自然常數(shù)，

（Ⅰ）討論時, 的單調(diào)性、極值；

（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，;

（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，的極小值為

（II）證明略（III）存在實數(shù)，使得當時有最小值3

解析:

（Ⅰ），   ……1分

∴當時，，此時單調(diào)遞減

當時，，此時單調(diào)遞增    ……3分

∴的極小值為                         ……4分

（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，                   ……5分

令，，  ……6分

當時，，在上單調(diào)遞增  ……7分

∴ 

∴在（1）的條件下，           ……9分

（Ⅲ）假設存在實數(shù)，使（）有最小值3，

                      ……9分

① 當時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.             ……10分

②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，，滿足條件.  ……11分

③ 當時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數(shù)，使得當時有最小值3.