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如圖，以橢圓C：
x2
4
+y2=1的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別于x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）設(shè)M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨設(shè)y1＞0，由于點(diǎn)M在橢圓G上，得y12=1-
x12
4
，由已知T（-2，0），則
TM
=（x1+2，y1），
TN
=（x1+2，-y1），從而
TM
•
TN
=（x1+2，y1）•（x1+2，-y1）=（x1+2）2-y12=
5
4
(x1+
8
5
)2-
1
5
，當(dāng)x1=-
8
5
時(shí)，
TM
•
TN
取得最小值為-
1
5
，由此能求出圓T的方程為（x+2）2+y2=
13
25
．
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），則直線MP的方程為：y-y0=
y0-y1
x0-x1
(x-x0)，令y=0，得xR=
x1y0-x0y1
y0-y1
，同理，xS=
x1y0+x0y1
y0+y1
，故xR•xS=
x12y02-x02y12
y02-y12
，由此能證明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值．
解答： （Ⅰ）解：∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
設(shè)M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨設(shè)y1＞0，
由于點(diǎn)M在橢圓G上，∴y12=1-
x12
4
，（*）
由已知T（-2，0），則
TM
=（x1+2，y1），
TN
=（x1+2，-y1），
∴
TM
•
TN
=（x1+2，y1）•（x1+2，-y1）=（x1+2）2-y12=（x1+2）2-（1-
x12
4
）=
5
4
x12+4x1+3=
5
4
(x1+
8
5
)2-
1
5
，
∵-2＜x1＜2，
∴當(dāng)x1=-
8
5
時(shí)，
TM
•
TN
取得最小值為-
1
5
，
由（*）式y1=
3
5
，
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程，得r2=
13
25
，
故圓T的方程為（x+2）2+y2=
13
25
．
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x0，y0），則直線MP的方程為：y-y0=
y0-y1
x0-x1
(x-x0)，
令y=0，得xR=
x1y0-x0y1
y0-y1
，
同理，xS=
x1y0+x0y1
y0+y1
，
故xR•xS=
x12y02-x02y12
y02-y12
，（**）
又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，
∴x02=4(1-y02)，x12=4(1-y12)，
代入（**）式，
得xR•xS=
4(1-y12)y02-4(1-y02)y12
y02-y12
=
4(y02-y12)
y02-y12
=4．
∴|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，并求此時(shí)圓T的方程，考查|OR|•|OS|為定值的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知M={x|x2≤4}，N={x|
2
x-1
≥1}，則M∩N=（　�。�
A、{x|1＜x≤2}
B、{x|-2≤x≤1}
C、{x|1≤x≤2}
D、{x|x＜2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出以下四個(gè)說(shuō)法：
①繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的組距；
②在刻畫(huà)回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明擬合的效果越好；
③設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為
y
=0.85x-85.71說(shuō)明若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；
④對(duì)分類變量X與Y，若它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大．其中正確的說(shuō)法是（　�。�
A、①④B、②④C、①③D、②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|log3x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區(qū)間[m，n2]上的最大值為2，則m+n=（　　）
A、
82
9
B、
28
9
C、
28
3
D、
10
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)寫(xiě)求和S=22+42+62+…+1002的算法，并畫(huà)出算法流程圖．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，設(shè)bn=log
1
3
an，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列{
1
Sn
}（n∈N*）的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)全集為R，A={x|x＞-1}，B={x|x≤5}，求：
（1）A∩B；  （2）A∪B；  （3）CRA、CRB； （4）（CRA）∩（CRB）；（5）（CRA）∪（CRB）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xk+b（常數(shù)k，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2）、（16，4）兩點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）問(wèn)：是否存在邊長(zhǎng)為4正三角形△PQ1Q2，使點(diǎn)P在函數(shù)f（x）圖象上，Q1、Q2從左至右是x正半軸上的兩點(diǎn)？若存在，求直線PQ2的方程，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)到其右準(zhǔn)線的距離為1，到右頂點(diǎn)的距離為
2
-1，圓O：x2+y2=a2，P為圓O上任意一點(diǎn)．
（1）求a，b；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，線段PH與橢圓交點(diǎn)為M，求
MH
PH
；
（3）過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的一條切線l，直線m是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與切線l垂直的直線，試問(wèn)：直線m是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案