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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
把離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”，如圖的兩個相似橢圓，分別是同一個矩形的內切橢圓和外接橢圓，且q（q＞1）是這兩個橢圓長軸的長的比值，那么q=
2
2
．
分析：設外橢圓的方程為
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0），內橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），利用e=
c1
m
=
c2
a
結合合比定理即可求得q．
解答：解：設外橢圓的方程為
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0），c1為其半焦距，
內橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），c2，
∵兩橢圓的離心率相等，
∴e=
c1
m
=
c2
a
，
∴
m
a
=
c1
c2
，
∴(
m
a
)2=(
c1
c2
)2=
m2-c12
a2-c22
=
n2
b2
，
∴
m
a
=
c1
c2
=
n
b
，①
依題意P（a，b）為外橢圓為
x2
m2
+
y2
n2
=1上的點，
∴
a2
m2
+
b2
n2
=1②
由①②得：2
a2
m2
=1，
∴
a2
m2
=
1
2
，
m2
a2
=2，
∴
m
a
=
2
．即q=
2m
2a
=
m
a
=
2
．
故答案為：
2
．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查轉化思想與運算能力，考查合分比定理，屬于難題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網簡化的北京奧運會主體育場“鳥巢”的鋼結構俯視圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，設內層橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，則外層橢圓方程可設為
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1(a＞b＞0，m＞1)．若AC與BD的斜率之積為-
9
16
，則橢圓的離心率為（　�。�
A、
7
4
B、
2
2
C、
6
4
D、
3
4

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科目：高中數學 來源： 題型：

簡化北京奧動會主體育場“鳥巢”的鋼結構俯視圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC．BD．設內層橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），則外層橢圓方程可設
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1（a＞b＞o，m＞1）．若AC與BD的斜率之積為-
9
16
，則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

把離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”，如圖的兩個相似橢圓，分別是同一個矩形的內切橢圓和外接橢圓，且q（q＞1）是這兩個橢圓長軸的長的比值，那么q=________．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年福建省福州一中高三（上）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

把離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”，如圖的兩個相似橢圓，分別是同一個矩形的內切橢圓和外接橢圓，且q（q＞1）是這兩個橢圓長軸的長的比值，那么q=    ．

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