Question

（2013•武漢模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知acosB-bsinB=c．
（Ⅰ）若B=

π

6

，求A；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導公式變形，根據sinB不為0求出cosA的值，即可確定出A的度數；
（Ⅱ）由第一問得到cosA=-sinB，代入原式，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據題意求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件及正弦定理，得sinAcosB-sin²B=sinC，
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sin²B=sin（A+B），即sinAcosB-sin²B=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=-sin²B，
∵sinB≠0，
∴cosA=-sinB=-sin

π

6

=-

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

2π

3

；       
（Ⅱ）由（Ⅰ），得cosA=-sinB，
∴sinA+sinB=sinA-cosA=

2

sin（A-

π

4

）．
又cosA=-sinB=cos（

π

2

+B），
∴A=

π

2

+B，
∵A+B＜π，
∴

π

2

＜A＜

3π

4

，
∴

π

4

＜A-

π

4

＜

π

2

，
∴

2

2

＜sin（A-

π

4

）＜1，
∴1＜

2

sin（A-

π

4

）＜

2

．           
則sinA+sinB的取值范圍為（1，

2

）．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．