Question

16．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A（-4，3）．
（1）若F₁A⊥F₂A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）利用F₁A⊥F₂A得到（-4+c，3）•（-4-c，3）=0，可得c．再利用過(guò)點(diǎn)A（-4，3），可得$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，解出即可；
（2）根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=4$\sqrt{10}$…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=100…②．由①②聯(lián)解，得PF₁•PF₂=60，最后用根據(jù)正弦定理關(guān)于面積的公式，可得△PF₁F₂的面積．

解答 解：（1）∵F₁A⊥F₂A，∴（-4+c，3）•（-4-c，3）=0，
化為16-c²+9=0，解得c=5，∴a²=b²+25，
∵過(guò)點(diǎn)A（-4，3），
∴$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1．
∴解得a²=40，b²=15．
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{40}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1．
（2）∵點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是焦點(diǎn)，
∴根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=4$\sqrt{10}$…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=120°且F₁F₂=2c=10
∴根據(jù)余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=100
即PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=100…②
∴①②聯(lián)解，得PF₁•PF₂=60
根據(jù)正弦定理，得△PF₁F₂的面積為：S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°=15$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、正、余弦定理是解題的關(guān)鍵．