Question

19．下列函數中，對于任意x∈R，同時滿足條件f（-x）+f（x）=0和$f（\frac{π}{2}-x）=f（x）$的函數是（　�。�

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=cosx
• C． f（x）=sinxcosx
• D． f（x）=cos²x-sin²x

Answer 1

分析 根據題意，要求函數滿足條件，則該函數必須是奇函數且周期為π，據此由三角函數的性質依次分析選項四個函數的奇偶性與周期性即可得答案．

解答 解：根據題意，要求函數滿足條件f（-x）+f（x）=0和$f（\frac{π}{2}-x）=f（x）$則該函數必須是奇函數且周期為π，
據此依次分析選項可得：
對于A、f（x）=sinx是奇函數且周期為2π，不符合題意；
對于B、f（x）=cosx是偶函數且周期為2π，不符合題意；
對于C、f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x是奇函數且周期為π，符合題意；
對于D、f（x）=ccos²x-sin²x=cos2x是偶函數且周期為π，不符合題意；
故選：C．

點評 本題考查三角函數的性質，關鍵是分析出函數的周期與奇偶性．