Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M為棱PB的中點．

(1)證明：DM平面PBC；
(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：(1) 連接，取的中點，連接，
要證平面，只要證，即可，由題設可得是等腰的底邊上的中線，所以；另一方面由又可得出 
考慮到平面  平面，；問題得證.
(2)根據(jù)空間圖形中已知的垂直關系，可以為坐標原點，射線為正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，寫出點 ,分別求出平面 的一個法向量 和平面 的一個法向量，利用向的夾公式求二面角A—DM—C的余弦值
試題解析：
證明：連接，取的中點，連接，

由此知，即為直角三角形，故
又平面，故
所以，平面，                        2分
又，為的中點
                                    4分
                                  5分
平面                                  6分

以為坐標原點，射線為正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，        7分
則從而
設是平面的一個法向量，則
可取                                8分
同理，設是平面的一具法向量,則
可取                                  9分
                                    2分
顯然二面角的大小為鈍角，所以二面角的余弦值為.        12分
4、二面角的概念與法向量的求法.