Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；

（2）若，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）分別在區(qū)間上各存在一個零點(diǎn)，函數(shù)存在兩個零點(diǎn).（2）

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)并判斷其單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理取幾個特殊值判斷出零點(diǎn)的個數(shù)。

（2）假設(shè)對任意恒成立，轉(zhuǎn)化成對任意恒成立.令，則.討論其單調(diào)性。

（1），即，

則，

令解得.

當(dāng)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，.

因?yàn)?/span>，

所以.

又，，

所以，，

所以分別在區(qū)間上各存在一個零點(diǎn)，函數(shù)存在兩個零點(diǎn).

（2）假設(shè)對任意恒成立，

即對任意恒成立.

令，則.

①當(dāng)，即時，且不恒為0，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又，所以對任意恒成立.

故不符合題意；

②當(dāng)時，令，得；令，得.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即當(dāng)時，存在，使，即.

故符合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.