Question

8．已知實數a、b、c滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞b＞c}\\{a+b+c=1}\\{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}=1}\end{array}\right.$，試求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個不等實根，由判別式大于0可得-$\frac{1}{3}$＜c＜1．再由（c-a）（c-b）＞0，解得c＜0，或c＞$\frac{2}{3}$，取交集得到-$\frac{1}{3}$＜c＜0，從而得到1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

解答 解：因為a+b=1-c，ab=$\frac{（a+b）^{2}-（{a}^{2}+^{2}）}{2}$=c²-c，所以a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個不等實根，
則△=（1-c）²-4（c²-c）＞0，解得-$\frac{1}{3}$＜c＜1．
而（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，即c²-（1-c）c+c²-c＞0，解得c＜0，或c＞$\frac{2}{3}$（不和題意，舍去），
所以-$\frac{1}{3}$＜c＜0，即1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，體現(xiàn)了轉化的數學思想，式子的變形是解題的關鍵，屬于中檔題．