Question

已知函數(shù)f（x）=1+a-4asinx-cos²x（a為常數(shù)，x∈[

π

6

，π]），求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=1+a-4asinx-cos²x=f（x）=sin²x-4asinx+a，
令t=sinx，∵x∈[

π

6

，π]），∴t∈[0，1]，
則函數(shù)等價(jià)為y=t²-4at+a，對稱軸為直線t=2a，
（1）若2a≤0即a≤0時(shí)，y=t²-4at+a在[0，1]內(nèi)遞增，
當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，則此時(shí)最小值為g（a）=a．
（2）若0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

時(shí)．
當(dāng)t=2a，函數(shù)取得最小值g（a）=4a²-8a²+a=a-4a²，
（3）若2a≥1，即a≥

1

2

時(shí)，y=t²-4at+a在[0，1]內(nèi)遞減，
當(dāng)t=1，函數(shù)取得最小值g（a）=-3a+1，
 綜上，g（a）=

a， a≤0 a-4a2， 0＜a＜ 1 2 -3a+1， a≥ 1 2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．