Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n,m∈R ⁺},求不等式cx²+bx+a＜0的解集.

Answer 1

解法一:由韋達定理及其逆定理來構建一個一元二次不等式,通過對比來求解.?

原不等式的解集為{x|m＜x＜n,m∈R⁺}.?

∴可知二次項系數(shù)a＜0.再由韋達定理可知,?

m+n=-,m·n=.?

現(xiàn)對cx²+bx+a＜0兩邊同除以a,可得x²+x+1＞0.?

∴可有mnx²-(m+n)x+1＞0,即有(mx-1)(nx-1)＞0.?

又由已知條件雖然有n＞m＞0,?

∴由不等式性質知0＜＜.?

故cx²+bx+a＜0的解集為{x|x＜或x＞,n＞m＞0}.?

解法二:注意到,若x≠0時,不等式cx²+bx+a＜0可化歸為a()²+b()+c＜0.?

再利用換元思想去對比已知條件中不等式ax²+bx+c＞0的解集{x|m＜x＜n,m∈R⁺},來獲取不等式cx²+bx+a＜0的解集.?

由解法一可知,a＜0.?

∴x=0是cx²+bx+a＜0的一個解.?

又當x≠0時,x²＞0,現(xiàn)將不等式cx²+bx+a＜0兩邊同除以x²,得a·()²+b·()+c＜0.(*)?

∵ax²+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n,m∈R⁺},?

∴(*)的解為＞n或＜m.?

又∵n＞m＞0,?

即有x＜或x＞,故不等式cx²+bx+a＜0的解集為{x|x＜或x＞,n＞m＞0}.