Question

在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足，
（1）求線段PP′中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（-2，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)（，0），且以為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)M（x，y）是所求曲線上的任意一點(diǎn)，
P（）是方程的圓上的任意一點(diǎn)，則，
則有：，即，
代入得，軌跡C 的方程為；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無(wú)交點(diǎn)，
所以設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），與橢圓交于兩點(diǎn)，
N點(diǎn)所在直線方程為，
由得（4＋），
由∴，
即，    
，
，即，
∴四邊形OANB為平行四邊形，
假設(shè)存在矩形OANB，
則，即，
即，
于是有，得，
設(shè)N（），由得，
即點(diǎn)N在直線x＝－上；
∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為。