Question

【題目】已知冪函數(shù)（）在是單調(diào)減函數(shù)，且為偶函數(shù).

（1）求的解析式；

（2）討論的奇偶性，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析。

【解析】

（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)在（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，且為偶函數(shù)，得冪指數(shù)小于0，再由m∈z可求m的值；

（2）由（I）知F（x）=a+（a﹣2）x，分a=0，a=2，a≠0且a≠2三種情況利用定義分別判斷函數(shù)的奇偶性．

(1)由于冪函數(shù)f(x)＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以m2－2m－3<0，求得－1<m<3，

因?yàn)?/span>m∈Z，所以m＝0,1,2.

因?yàn)?/span>f(x)是偶函數(shù)，

所以m＝1，

故f(x)＝.

(2)F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)

＝a·＋(a－2)x.

當(dāng)a＝0時(shí)，F(x)＝－2x，對于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝－F(－x)，

所以F(x)＝－2x是奇函數(shù)；

當(dāng)a＝2時(shí)，，對于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝F(－x)，

所以是偶函數(shù)；

當(dāng)a≠0且a≠2時(shí)，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，

因?yàn)?/span>F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，

所以是非奇非偶函數(shù)．