Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PC與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥BD．PA⊥BD．推出BD⊥平面PAC，然后證明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，求出相關(guān)點的坐標，平面PDB的法向量，設(shè)PC與平面PBD所成角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解PC與平面PBD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，$BD\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，$PA\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面PAC，$AC\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
∵$BD\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD=O，因為∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，$AO=CO=\sqrt{3}$，如圖，以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，則$P（\sqrt{3}，0，2）$，$A（\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），D（0，-1，0），$C（-\sqrt{3}，0，0）$，所以$\overrightarrow{PB}=（-\sqrt{3}，1，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{3}，-1，-2）$，$\overrightarrow{PC}=（-2\sqrt{3}，0，-2）$．
設(shè)平面PDB的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0\end{array}\right.$則$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y-2z=0\\-\sqrt{3}x-y-2z=0\end{array}\right.$解得y=0，令$z=\sqrt{3}$，得x=-2，∴$\overrightarrow n=（-2，0，\sqrt{3}）$．
設(shè)PC與平面PBD所成角為θ，則$sinθ=|cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{PC}＞|=|\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{PC}|}}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{{4\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
則PC與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理與平面與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．