Question

求證：函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ），（A，ω≠0）為奇函數(shù)的充要條件是Φ=k•

π

2

，k∈Z．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)充要條件的定義分別證明充分性和必要性即可．

解答： 證明：必要性：若函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ），（A，ω≠0）為奇函數(shù)，則根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心可得φ=k•

π

2

，
充分性：若Φ=k•

π

2

，
當k是偶數(shù)，設k=2n，n∈Z時，f（x）=Atan（ωx+nπ）=Atanωx為奇函數(shù)，
當k是奇數(shù)，設k=2n+1，n∈Z時，f（x）=Atan（ωx+nπ+

π

2

）=Atan（ωx+

π

2

）=A

1

tanωx

為奇函數(shù)，
綜上函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ），（A，ω≠0）為奇函數(shù)的充要條件是Φ=k•

π

2

，k∈Z．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的證明，根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關鍵．