Question

9．某固定在墻上的廣告金屬支架如圖所示，根據(jù)要求，AB長(zhǎng)要超過4米（不含4米），C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD的長(zhǎng)小1米，∠BCD=60°
（1）若CD=x，BC=y，將支架的總長(zhǎng)度表示為y的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域．（注：支架的總長(zhǎng)度為圖中線段AB、BD和CD的長(zhǎng)度之和）
（2）如何設(shè)計(jì)AB、CD的長(zhǎng)，可使支架總長(zhǎng)度最短．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，CD=x，則BD=（x-1）m，設(shè)CB=y，那么支架的總長(zhǎng)度為AC+BC+BD+CD，利用余弦定理把各邊長(zhǎng)關(guān)系建立起來，可得總長(zhǎng)度表示為y的函數(shù)．
（2）根據(jù)（1）中的總長(zhǎng)度y的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式的性質(zhì)求解最小值．即支架最短總長(zhǎng)度．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由CD=x，則BD=（x-1）m，C為AB的中點(diǎn)，AC=BC，設(shè)CB=y．
則支架的總長(zhǎng)度為AC+BC+BD+CD，則總長(zhǎng)度l=2y+2x+1．
在△CBD中，由余弦定理可得：x²+y²-2xycos60°=（x-1）²，
化簡(jiǎn)得：y²-xy+2x-1=0，
則$x=\frac{{{y^2}-1}}{y-2}$，
總長(zhǎng)度$l=2y+2×\frac{{{y^2}-1}}{y-2}-1=2y+\frac{{2{y^2}-2}}{y-2}-1$，
由題中條件得2y＞4，即y＞2．
（2）由（1）可得：總長(zhǎng)度l=$\frac{2{y}^{2}-2}{y-2}+2y-1$，（y＞2），
設(shè)y-2=t（t＞0），
則總長(zhǎng)度$l=2•\frac{{{{（{t+2}）}^2}-1}}{t}-2（{t+2}）-1=2（{t+4+\frac{3}{t}}）+2t+3=4t+\frac{6}{t}+11$，
∵t＞0
由基本不等式可知：$4t+\frac{6}{t}≥4\sqrt{6}$，
有且僅當(dāng)4t²=6，即$t=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$時(shí)成立，
又由$t=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，滿足t＞0．
∴$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}+2$，
∴$x=\frac{{3\sqrt{6}+8}}{2}$，
∴當(dāng)$AB=\sqrt{6}+4，CD=\frac{{8+3\sqrt{6}}}{2}$時(shí)，金屬支架總長(zhǎng)度最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用能力和計(jì)算能力，注意定義域的問題．屬于中檔題．