Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，連結(jié)對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°；連結(jié)AC₁，再以AC₁為邊作第三個(gè)菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的面積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)可分別求得AC，AC₁，AC₂的長(zhǎng)，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求第n個(gè)菱形的面積．

解答：解：連接DB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=

1

2

，
∴AM=

1- 1 4

=

3 4

=

3

2

，
∴AC=

3

，
同理可得AC₁=

3

AC=（

3

）²，AC₂=

3

AC₁=3

3

=（

3

）³，
按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為（

3

）^n-1，
∴第n個(gè)菱形的面積為2×

1

2

×[(

3

)n-1]2×

3

2

=

3

2

×3n-1；
故答案為：

3

2

×3n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)條件確定第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為（

3

）^n-1，是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．