Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$在$\overrightarrow$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）由題已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3及其夾角，可利用$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$，轉化為向量的乘法解決；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$在$\overrightarrow$方向上的投影，則由向量乘法$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$的投影為|$\overrightarrow{a}$|cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，則可利用|$\overrightarrow{a}$|cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$變形．可求出投影．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{|}^{2}}=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4|\overrightarrow{|}^{2}}$
=$\sqrt{4+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos120°+4×9}$=$\sqrt{40+4×2×3×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$；
（2）∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2|\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos120°+18$=$2×3×（-\frac{1}{2}）+18=15$，
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$在$\overrightarrow$方向上的投影為|$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{15}{3}=5$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量在向量方向上投影的概念，是中檔題．