Question

15．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$）
（Ⅰ）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調性
（Ⅱ）證明：f（x）在其定義域上是奇函數(shù)
（Ⅲ）解關于a的不等式：f（a-1）+f（2a-1）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$），有$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解可得x的取值范圍，即可得函數(shù)f（x）的定義域，利用復合函數(shù)的單調性的判定方法可得該函數(shù)為增函數(shù)；
（Ⅱ）先分析函數(shù)f（x）的定義域是否關于原點對稱，再計算f（-x）的解析式，分析可得f（-x）=-f（x），即可得證明；
（Ⅲ）由函數(shù)的定義域、奇偶性、單調性分析可得f（a-1）+f（2a-1）≤0⇒f（a-1）≤-f（2a-1）⇒f（a-1）≤f（1-2a）⇒$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-1＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{a-1≤1-2a}\end{array}\right.$，解可得a的范圍，解可得答案．

解答 解：（Ⅰ）對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$），
有$\frac{1-x}{1+x}$＞0，
解可得-1＜x＜1，即函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）；
令t=$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{2}{x+1}$-1，在（-1，1）上為減函數(shù)，
而y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$）為增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$），
其定義域為（-1，1），關于原點對稱，
且f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1+x}{1-x}$），
有f（x）+f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1+x}{1-x}$）=0，
即f（-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在（-1，1）為奇函數(shù)且單調遞增，
f（a-1）+f（2a-1）≤0⇒f（a-1）≤-f（2a-1）⇒f（a-1）≤f（1-2a）⇒$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-1＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{a-1≤1-2a}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{2}{3}$≤a＜1，
則不等式f（a-1）+f（2a-1）≤0的解集為[$\frac{2}{3}$，1）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性的判定、應用，關鍵是掌握函數(shù)奇偶性、單調性的判定方法．