Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓∶的左、右焦點分別、焦距為，且與雙曲線共頂點．為橢圓上一點，直線交橢圓于另一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點的坐標(biāo)為，求過、、三點的圓的方程；

（3）若，且，求的最大值．

 

Answer 1

（1）（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）由題易得橢圓中，可得橢圓方程；

（2）因為點的坐標(biāo)為，故，可得的方程為，聯(lián)立

直線方程和橢圓方程得，，可得圓心坐標(biāo)和半徑，則圓的方程可求；

（3）由題，設(shè)，，

可得，將其代入橢圓方程解得 ，，

由，，即得的最大值

1）【解析】
由題意得,故橢圓的方程為．

（2）因為所以的方程為

由 解得點的坐標(biāo)為． 因為所以為直角三角形

因為的中點為，，

所以圓的方程為.

（3）設(shè)，則，

因為 ，所以即

所以解得

所以

因為 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．

最大值為．

考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，基本不等式