Question

2．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點(diǎn)，若|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數(shù)列，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 通過設(shè)|PF₁|=t，由橢圓定義可知|PF₂|=8-t、|F₁F₂|=2c=4，利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列計(jì)算可知△PF₁F₂為等邊三角形，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：由橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a=8，|F₁F₂|=2c=4，
設(shè)|PF₁|=t，則|PF₂|=8-t，
∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列，
∴$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=|PF₁|•|PF₂|，
∴16=t（8-t），
解得：t=4，
∴|PF₁|=|PF₂|=4，
∴△PF₁F₂為等邊三角形，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}•4•4•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．