Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為左支一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為d，若d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A．[

  1+ 5

  2

  ，+∞)
• B．(1，

  1+ 5

  2

  ]
• C．[1+

  2

  ，+∞)
• D．(1，1+

  2

  ]

Answer 1

分析：將等比數(shù)列的概念與雙曲線的第二定義結(jié)合，再利用雙曲線的簡單性質(zhì)得到|PF₁|與其離心率e的關(guān)系，通過不等式|PF₁|≥c-a即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍．

解答：解：∵該雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，又P為左支一點(diǎn)，則|PF₂|-|PF₁|=2a，
設(shè)雙曲線的離心率為e，依題意，

|PF1|

d

=

|PF2|

|PF1|

=e，
∵

|PF2|

|PF1|

=e，
∴

|PF2|-|PF1|

|PF1|

=e-1，即

2a

|PF1|

=e-1，
∴|PF₁|=

2a

e-1

，又|PF₁|≥c-a，
∴

2a

e-1

≥c-a，又c＞a，
∴0＜

c-a

2a

≤

1

e-1

，即

1

2

（e-1）≤

1

e-1

，
∴（e-1）²≤

2

，又e=

c

a

＞1
∴1＜e≤1+

2

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查雙曲線的第二定義及雙曲線的簡單性質(zhì)，突出轉(zhuǎn)化思想與不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．