Question

下面一組圖是某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面和底面，且點(diǎn)C為離點(diǎn)S最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)，

（1）畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，并判斷是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？說明理由
（2）若E為AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面BDE的距離
（3）若S-ABCD外接于球O，求S、C兩點(diǎn)的球面距離．

Answer 1

分析：（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一條側(cè)棱SA垂直于底面．
（2）證明出BD⊥面SAC即可證出平面SAC⊥平面SBD，由面面垂直的性質(zhì)定理，由A向平面SAC與平面SBD的交線作垂線，構(gòu)造直角三角形解決點(diǎn)A到平面SBD的距離．
（3）SC為 S-ABCD外接于球O的直徑，則S、C兩點(diǎn)的球面距離為大圓的周長的一半．

解答：解：（1）存在一條側(cè)棱SA⊥平面ABCD，如圖所示．
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．
（2）

SA⊥面ABCD BD?面ABCD

⇒BD⊥SA
又BD⊥AC，AC∩SA=A
由線面垂直的判定定理，
BD⊥面SAC，又BD?面SBD
由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD    
設(shè)O'為底面中心，則 平面SAC∩平面SBD=SO'
                                                             
過A作AH⊥SO'，垂足為H，由面面垂直的性質(zhì)定理，AH⊥面SBD，
所以AH即為所求，在直角三角形SAO中，SO'²=SA²+AO'^2₌  a2+(

2 a

2

) =

3

2

a2
   SA×AO'=SO'×AH，∴AH=

a× 2 a 2

6a 2

=

3a

3

          
（3）SC為 S-ABCD外接于球O的直徑，則S、C兩點(diǎn)的球面距離πR=

3 aπ

2

點(diǎn)評：本題考查線面垂直、面面垂直定義，判定，性質(zhì)．以及空間距離的求解．平面問題與空間問題相互轉(zhuǎn)化的思想方法，考查計(jì)算能力．