Question

已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₁與雙曲線C₂有共同的焦點(diǎn)，設(shè)左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₁•e₂的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  9

  ，+∞）
• B、（

  1

  5

  ，+∞）
• C、（

  1

  3

  ，+∞）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)橢圓和雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2a₁，2a₂，焦距為2c，設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=|F₁F₂|=y，由題意得

x+y=2a1 x-y=2a2 2c=y

，則e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

y2

x2-y2

=

1

( x y )2-1

，由此利用三角形三邊關(guān)系和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性能求出結(jié)果．

解答： 解：∵中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₁與雙曲線C₂有共同的焦點(diǎn)，
設(shè)左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，
△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，
∴設(shè)橢圓和雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2a₁，2a₂，焦距為2c，
設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=|F₁F₂|=y，
由題意得

x+y=2a1 x-y=2a2 2c=y

，
∵橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，
∴e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

y2

x2-y2

=

1

( x y )2-1

，
由三角形三邊關(guān)系得|F₁F₂|+|PF₂|＞|PF₁|＞|PF₂|，
即2y＞x＞y，得到1＜

x

y

＜2，
∴1＜（

x

y

）²＜4，∴0＜（

x

y

）²-1＜3，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到e₁•e₂=

1

( x y )2-1

＞

1

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和橢圓的離心率的乘積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角形三邊關(guān)系的合理運(yùn)用．