Question

（05年浙江卷文）（14分）

如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．

   (Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；

   (Ⅱ) 求直線OD與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

解析：解法一

(Ⅰ)∵O、D分別為AC、PC的中點(diǎn)：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中點(diǎn)E,連結(jié)PE,則BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,連結(jié)DF,則OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA與平面PBC所成角為arcsin

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O(shè)為原點(diǎn),射線OP為非負(fù)x軸,建立空間坐標(biāo)系O-xyz如圖),設(shè)AB=a,則A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).設(shè)OP=h,則P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D為PC的中點(diǎn),∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=則PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

設(shè)PA與平面PBC所成角為θ,剛sinθ=|cos()|=.

∴PA與平面PBC所成的角為arcsin.