Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²e^-x，a≠0，x∈R
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當a＞0時，討論關于x的方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0的實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求導f′（x）=a（2xe^-x-x²e^-x）=axe^-x（2-x），從而討論a以確定導數(shù)的正負，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a＞0時，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0可化為f（x）=a²•e^-2，即ax²e^-x=a²•e^-2，從而由（1）可知f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是減函數(shù)，在（0，2）上是增函數(shù)；再求出$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）→+∞，f（0）=0，f（2）=4ae^-2，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=0；從而討論即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²e^-x，
∴f′（x）=a（2xe^-x-x²e^-x）
=axe^-x（2-x），
①當a＞0時，
x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，f′（x）＜0，
x∈（0，2）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是減函數(shù)，在（0，2）上是增函數(shù)；
②當a＜0時，
x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0，
x∈（0，2）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)；
（2）當a＞0時，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0可化為f（x）=a²•e^-2，
即ax²e^-x=a²•e^-2，
又∵f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是減函數(shù)，在（0，2）上是增函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）→+∞，f（0）=0，f（2）=4ae^-2，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=0；
故當a²•e^-2＞4ae^-2，即a＞4時，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0只有一個解，
當a²•e^-2=4ae^-2，即a=4時，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0有兩個解，
當當a²•e^-2＜4ae^-2，即0＜a＜4時，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0有三個解．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及方程的根與函數(shù)的零點的關系應用，屬于中檔題．