Question

1．已知函數f（x）=e^x，對于實數m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），則p的最大值等于2ln2-ln3．

Answer 1

分析 由f（x）=e^x得：f（m+n）=f（m）f（n），依題意，可求得f（m）f（n）=f（m）+f（n），令f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，則f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，利用△=t²-4t≥0，可求得t的范圍，進一步可求得f（p）=$\frac{t}{t-1}$=1+$\frac{1}{t-1}$（t≥4），利用該函數的單調性即可求得f（p）的最大值，繼而可得p的最大值．

解答 解：由f（x）=e^x得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
設f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
則f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，
∵△=t²-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=$\frac{t}{t-1}$=1+$\frac{1}{t-1}$（t≥4），
顯然t越大，f（p）越小，
∴當t=4時，f（p）取最大值$\frac{4}{3}$，又f（p）=e^p，
∴f（p）取到最大值時，p也取到最大值，即p_max=ln$\frac{4}{3}$=2ln2-ln3．
故答案為：2ln2-ln3．

點評 本題考查抽象函數的性質，著重考查對數函數的性質，求得f（m）f（n）=f（m）+f（n）之后，設f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，構造方程，f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解是關鍵，也是難點，考查創(chuàng)新思維與綜合分析與運算能力，屬于難題．