Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓相切，直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)的面積有最小值？并求出最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）時(shí)，有最小值.

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，

則.

雙曲線的離心率  所以，得

∴橢圓C的方程為.                 4分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，由對(duì)稱性不妨設(shè)

由消得：    6分

依題意，得： 8分

由，令，得，即

 10分（用表示一樣給分）

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).                      12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612264985785668/SYS201307161227472663254099_DA.files/image030.png">故時(shí)，有最小值.           13分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。