Question

【題目】如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.

（1）證明：平面；

（2）若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進(jìn)而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．

（2）推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導(dǎo)出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．

（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因?yàn)?/span>是矩形，

所以，因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，，所以平面，

所以，又因?yàn)?/span>，所以是中點(diǎn)，

取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，則且，

所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（圖1） （圖2）

（2）因?yàn)?/span>，所以是等腰直角三角形，設(shè)，

則，.在中，，所以.

在中，，所以，

由（1）知，則，，如圖2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，.

所以，則，，

設(shè)平面的法向量為，

則即

取得.故平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量為，

則.

因?yàn)槎�面�?/span>為鈍角，

所以二面角的余弦值為.